1. 개요

함수의 그래프를 이용한 방정식의 실근의 개수 풀이중 어떤 방정식 x = k가 서로 다른 네 실간을 가지도록 하는 실수 k값의 범위를 구해야한다. 왜 교점과 연립은 개념이 같은가? 왜 연립의 해는 교점의 좌표인지, 왜 교점을 구하기 위해서는 연립을 사용하는지, 모두 같은 의미이다.

2. 사례 및 예시

2.1 교점과 연립 방정식의 개념

두 함수의 교점이란, 두 함수가 같은 x값에서 같은 y값을 갖는 점을 의미. 즉, 함수 (f(x))와 (g(x))가 있을 때, 이들의 교점은 (f(x) = g(x))가 성립하는 x값과 y값의 조합인것이다. 이를 구하기 위해서는 연립 방정식을 사용한다. 연립 방정식이란 두 개 이상의 방정식을 동시에 만족시키는 해를 찾는 방법이다.

2.2 사례: 두 직선의 교점

두 직선 (y = 2x + 1)과 (y = -x + 4)를 생각해 보자. 이 두 직선의 교점을 찾기 위해 연립 방정식을 사용

[ \begin{cases} y = 2x + 1
y = -x + 4 \end{cases} ]

위의 두 방정식을 연립하면, (2x + 1 = -x + 4) 이 방정식을 풀면,

[ 3x = 3 \implies x = 1 ]

x값을 첫 번째 방정식에 대입하면,

[ y = 2(1) + 1 = 3 ]

따라서, 두 직선의 교점은 ((1, 3)) 여기서 연립 방정식을 사용하여 교점을 찾기

2.3 사례: 함수와 직선의 교점

또 다른 사례로, 곡선 (y = x^2)와 직선 (y = x + 2)의 교점을 구해보면

[ \begin{cases} y = x^2
y = x + 2 \end{cases} ]

두 방정식을 연립하면 (x^2 = x + 2). 이를 풀면,

[ x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 ]

따라서 (x = 2) 또는 (x = -1). 각 x값에 대해 y값을 구하면,

[ y = 2 + 2 = 4 \quad (\text{for } x = 2) ]

[ y = -1 + 2 = 1 \quad (\text{for } x = -1) ]

따라서, 두 함수의 교점은 ((2, 4))와 ((-1, 1)).

3. 결론

연립 방정식의 해는 두 함수가 동일한 x값에서 동일한 y값을 갖는 지점을 찾는 과정입니다. 따라서, 연립 방정식의 해가 두 함수의 교점의 좌표가 되는 것이다. 그래서 왜 연립의 해는 교점의 좌표고 왜 교점을 구하기 위해서 연립을 해야하는지 정리